Necesitas un servidor.
No necesitas una aplicación. Un juego simple como QuizUp funcionaría bien desde un sitio web.
Desea tiempo real, por lo que desea usar algo como Socket.IO para comunicarse desde el cliente al servidor.
Probablemente el enfoque más fácil sería usar una pila como Meteor para construir su aplicación. Puede apuntar tanto al cliente como al servidor con la misma base de código, lo que hará que el código sea mucho más fácil de escribir.
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Un desarrollador avanzado probablemente usaría un servidor y un cliente especialmente diseñados. Pero un desarrollador avanzado no necesitaría hacer esta pregunta.
Un enfoque realmente simple sería usar Firebase, que ofrece sincronización de datos en tiempo real para clientes web, pero aún así deberías necesitar escribir la lógica del servidor para un juego como ese, lo que creo que un principiante * tendría más dificultades para hacerlo bien.
* He estado haciendo juegos y software por más de 30 años. Para mí, alguien con solo tres años de experiencia en codificación todavía parece un principiante.